Question

（2012•漳州模拟）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且sinC=2sinA．
（Ⅰ）求角A、B、C；
（Ⅱ）数列{a_n}满足an=2n|cosnC|，前n项和为S_n，若S_n=340，求n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法1：由已知角A、B、C成等差数列，可得B=

π

3

，A+C=

2π

3

，根据sinC=2sinA得sin(

2π

3

-A)=2sinA，展开，即可求得角A、C；
解法2：由解法1知B=

π

3

，又由sinC=2sinA得c=2a，利用余弦定理，可得c²=a²+b²，从而可得结论；
（Ⅱ）确定 an=2n|cosnC|=2n|cos

nπ

2

|=

0 ，   n为奇数 2n，  n为偶数

，利用求和公式及S_n=340，即可求n的值．

解答：解：（Ⅰ）解法1：由已知角A、B、C成等差数列，∴A+C=2B，
∵A+B+C=π，∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
由sinC=2sinA得sin(

2π

3

-A)=2sinA，
∴

3

2

cosA+

1

2

sinA=2sinA，
∴tanA=

3

3

，又0＜A＜

2π

3

，
∴A=

π

6

，
∴C=

π

2

．
解法2：由解法1知B=

π

3

，又由sinC=2sinA得c=2a，
∴b2=a2+4a2-2a•2acos

π

3

=3a2，
∴c²=a²+b²，
∴△ABC为Rt△，C=

π

2

，A=

2π

3

-

π

2

=

π

6

．
（Ⅱ） an=2n|cosnC|=2n|cos

nπ

2

|=

0 ，   n为奇数 2n，  n为偶数

∴S2k+1=S2k=0+22+0+24+…+0+22k=

4(1-22k)

1-4

=

22k+2-4

3

，
由

22k+2-4

3

=340，得2^2k+2=1024，
∴k=4，
∴n=8或9．

点评：本题考查数列与解三角形的综合，解题的关键是利用等差数列的性质，正确求数列的和．