题目内容

1．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1在R上递增，则实数a的取值范围是[-3，6]．

分析 求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至多有一个零点，结合判别式即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+a+6，
∵若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1在R上单调递增，
∴f′（x）=3x2+2ax+a+6≥0在R上恒成立，
即△=4a2-12a-72≤0，
解得：-3≤a≤6，
故答案为：[-3，6]．

点评 本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题．

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