Question

设关于x的不等式ax²+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为

-10

．

Answer 1

分析：先确定a＜0，再利用0为其中的一个解，a∈Z，求出a的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论．

解答：解：设y=ax²+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线．
对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0．
因为0为其中的一个解可以求得a≥-

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7

，又a∈Z，所以a=-2，-1，
则不等式为-2x²-8x+2≥0和-x²+9≥0，可分别求得-

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-2≤x≤

5

-2和-3≤x≤3，
∵x为整数，∴x=-4，-3，-2，-1，0和x=-3，-2，-1，0，1，2，3
∴全部不等式的整数解的和为-10
故答案为：-10

点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是确定a的值，求出相应一元二次不等式的解集．