Question

设函数f（x）=p（x-）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求实数p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）分别求出f（x），g（x）的导数，利用直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，求出它们导数之间的关系．
（II）f（x）在其定义域内为单调函数，则说明导数f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．
解答：解：（Ⅰ）方法一：∵，∴f'（1）=2p-2．
设直线，并设l与g（x）=x²相切于点M（x，y）
∵g'（x）=2x，∴2x=2p-2，解得
∴，
代入直线l方程解得p=1或p=3．
方法二：将直线方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵=．．
①要使f（x）为单调增函数，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即在（0，+∞）恒成立，
又，所以当p≥1，此时f（x）在（0，+∞）为单调增函数；   
②要使f（x）为单调减函数，须f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即，（0，+∞）恒成立，又，所以p≤0．当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上，若f（x）在（0，+∞）为单调函数，则p的取值范围为p≥1或p≤0．
点评：本题考查导数的应用，要正确理解函数单调性与导数之间的关系．当函数函数单调递增时，得f'（x）≥0，不能漏掉等号．