题目内容

(2012•宿州三模)设函数f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=
2e
x
.(p是实数,e是自然对数的底数)
(1)当p=2时,求与函数y=f(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程;
(2)若f(x)在其定义域内为单调递增函数,求p的取值范围;
(3)若在[1,e]上至少存在一点xo,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.
分析:(1)求导f(x)=p+
p
x2
-
2
x
要使“f(x)为单调增函数”,转化为“f’(x)≥0恒成立”,再转化为“p≥
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
恒成立”,由最值法求解.同理,要使“f(x)为单调减函数”,转化为“f’(x)≤0恒成立”,再转化为“p≤
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
恒成立”,由最值法求解,最后两个结果取并集.
(2)由“函数f(x)的图象相切于点(1,0”求得切线l的方程,再由“l与g(x)图象相切”得到(p-1)x2-(p-1)x-e=0由判别式求解即可.
(3)因为“在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立”,要转化为“f(x)max>g(x)min”解决,易知g(x)=
2e
x
在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e],①当p≤0时,f(x)在[1,e]上递减;②当p≥1时,f(x)在[1,e]上递增;③当0<p<1时,两者作差比较.
解答:解:(1)∵f(x)=p+
p
x2
-
2
x
,要使f(x)为单调增函数,须f’(x)≥0恒成立,
即px2-2x+p≥0恒成立,即p≥
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
恒成立,又
2
x+
1
x
≤1,
所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数.
要使f(x)为单调减函数,须f’(x)≤0恒成立,即px2-2x+p≤0恒成立,即p≤
2x
x2+1
=
2
x+
1
x
恒成立,又
2
x+
1
x
>0,所以当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数.
综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p的取值范围为p≥1或p≤0
(2)∵f(x)=
px2-2x+p 
x2
,,∴f’(1)=2(p-1),设直线l:y=2(p-1)(x-1),
∵l与g(x)图象相切,∴y=2(p-1)(x-1)得(p-1)(x-1)=
e
x
,即(p-1)x2-(p-1)x-e=0
y=
2e
x
当p=1时,方程无解;当p≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0,得p=1-4e,综上,p=1-4e
(3)因g(x)=
2e
x
在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e]
①当p≤0时,由(1)知f(x)在[1,e]上递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意
②当p≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上递增,f(1)<2,又g(x)在[1,e]上为减函数,
故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],
即:f(e)=p(e-
1
e
)-2lne>2⇒p>
4e
e2-1
③当0<p<1时,因x-
1
x
≥0,x∈[1,e]
所以f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx≤(x-
1
x
)-2lnx≤e-
1
e
-2lne<2不合题意
综上,p的取值范围为(
4e
e2-1
,+∞)
点评:本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网