题目内容

设函数f（x）=p（x- $数学公式$ ）-2lnx，g（x）= $数学公式$ （p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

解：（1）∵f’（x）= $\text{[math]}$ ，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，即p≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 恒成立，又 $\text{[math]}$ ≤1，
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，
即px²-2x+0≤0恒成立，即p≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 恒成立，又 $\text{[math]}$ ＞0，
所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（4分）

（2）∵f’（x）=p+ $\text{[math]}$ ，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，
∴y=2（p-1）（x-1）
得（p-1）（x-1）= $\text{[math]}$ ，即（p-1）x2-（p-1）x-e=0
y= $\text{[math]}$
当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）2-4（p-1）（-e）=0，
得p=1-4e，综上，p=1-4e（4分）

（3）因g（x）= $\text{[math]}$ 在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减?f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e- $\text{[math]}$ ）-2lne＞2?p＞ $\text{[math]}$ ．
③当0＜p＜1时，因x- $\text{[math]}$ ≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x- $\text{[math]}$ ）-2lnx≤（x- $\text{[math]}$ ）-2lnx≤e- $\text{[math]}$ -2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ $\text{[math]}$ ，+∞）（5分）
分析：（1）求导f’（x）= $\text{[math]}$ ，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．
（2）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0”求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p-1）x²-（p-1）x-e=0
由判别式求解即可．
（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立”，要转化为“f（x）_max＞g（x）_min”解决，易知g（x）= $\text{[math]}$ 在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．