Question

15．己知过点M（x₁、y₁）的直线l₁：x₁x+3y₁y=6与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直线l₂：x₂x+y₂y=6的交点E在双曲线$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，P为GH的中点．
（1）证明：|OP|=|OE|；
（2）求△OPG的面积．

Answer 1

分析 （1）设点E（m，n），求出直线MN的方程为mx+3ny=6，设G，H分别是直线MN与渐近线x-$\sqrt{3}$y=0及x+$\sqrt{3}$y=0的交点，分别求出交点坐标，再根据中点坐标公式求出点P的坐标，问题得以证明，
（2）设MN与x轴的交点为Q，则在直线mx+3ny=6，令y=0得，则x_Q=$\frac{6}{m}$，S_△OPG=$\frac{1}{2}$S_△OHG，问题得以解决．

解答 解：（1）由题意知，点E（m，n）在直线l₁：x₁x+3y₁y=6和l₂：x₂x+y₂y=6上，
因此直线MN的方程为mx+3ny=6．
设G，H分别是直线MN与渐近线x-$\sqrt{3}$y=0及x+$\sqrt{3}$y=0的交点，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{mx+3ny=6}\\{x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{mx+3ny=6}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m+\sqrt{3}n}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}n}}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m-\sqrt{3}n}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{-m+\sqrt{3}n}}\end{array}\right.$，
∴G：（$\frac{6}{m+\sqrt{3}n}$，$\frac{2\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}n}$），H：（$\frac{6}{m-\sqrt{3}n}$，$\frac{2\sqrt{3}}{-m+\sqrt{3}n}$），
∴P=（$\frac{6m}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$，$\frac{6n}{3{n}^{2}-{m}^{2}}$），
∵m²-3n²=6，
∴P（m，-n），
∴|0P|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，|OE|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|=|OE|；
（2）设MN与x轴的交点为Q，则在直线mx+3ny=6，令y=0得，则x_Q=$\frac{6}{m}$
∴S_△OPG=$\frac{1}{2}$S_△OHG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$|0Q|•|y_G-y_H|=$\frac{1}{4}$•$\frac{6}{|m|}$•|$\frac{4\sqrt{3}m}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$|=$\sqrt{3}$

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答，属于中档题．