Question

4．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．则集合A={x|f（x）=f（61）}中的最小元素是（　　）

• A． 13
• B． 11
• C． 9
• D． 6

Answer 1

分析 根据各分段的函数解析式可以归纳出：x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]时，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，再结合函数图象解出f（x）=f（61）的最小的x．

解答 解：因为x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，其值域为[0，1]，且先增后减，所以，
x∈[4，8]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[1-|$\frac{x}{2}$-3|]=2-|x-6|，值域为[0，2]，
x∈[8，16]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[2-|$\frac{x}{2}$-6|]=4-|x-12|，值域为[0，4]，
x∈[16，32]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[4-|$\frac{x}{2}$-12|]=8-|x-24|，值域为[0，8]，
x∈[32，64]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[8-|$\frac{x}{2}$-24|]=16-|x-48|，值域为[0，16]，
…，
一般地，x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]时，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，值域为[0，2^n-1]．
而61∈[2⁵，2⁶]，即n=5，所以，f（61）=16-|61-48|=3，
由于f（x）=f（61）=3，要使x最小，可设x∈[3，8]，
即令4-|x-12|=3，解得x=11或13，
所以，满足f（x）=f（61）的最小x的值为11．
故选：B．

点评 本题主要考查了抽象函数的应用，涉及分段函数解析式的求法和函数值的确定，运用了归纳推理题的解题思想，属于中档题．