Question

在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)=4sinB•cos2(

π

4

-

B

2

)+cos2B．当f（B）-m＜2恒成立时，实数m的取值范围是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简f（B），当f（B）-m＜2恒成立时，有2sinB＜1+m 恒成立，故有 1+m＞2，解得 m＞1，由此可得实数m的取值范围．

解答：解：在△ABC中，∵f(B)=4sinB•cos2(

π

4

-

B

2

)+cos2B=4sinB•

1+cos( π 2 +B)

2

+cos2B
=2sinB+2sin²B+cos2B=2sinB+1．
当f（B）-m＜2恒成立时，有2sinB＜1+m 恒成立，∴1+m＞2，m＞1，故实数m的取值范围为（1，+∞），
故答案为 （1，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的最值以及函数的恒成立问题，属于中档题．