Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-a₁，S_n，a_n+1成等差数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=3，求数列{log₃a_n}的前n项和R_n
（3）设b_n=1-S_n，问：是否存在a₁，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由-a₁，S_n，a_n+1成等差数列，利用等差数列的定义可得2S_n=a_n+1-a₁．当n≥2时，再利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n+1=3a_n．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）当a₁=3时，an=3×3n-1=3n．利用对数的运算法则可得log₃a_n=n．利用等差数列的前n项和公式可得R_n．
（3）利用等比数列的前n项和公式可得Sn=

a1(3n-1)

3-1

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，即可得出bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．要使数列{b_n}为等比数列，当且仅当1+

1

2

a1=0，解出即可．

解答：解：（1）∵-a₁，S_n，a_n+1成等差数列，∴2S_n=a_n+1-a₁．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n）=（a_n+1-a₁）-（a_n-a₁），
化为a_n+1=3a_n．
又∵2a₁=a₂-a₁，∴a₂=3a₁．∴数列{a_n}是等比数列，首项为a₁，公比为3．∴an=a1•3n-1．
（2）当a₁=3时，an=3×3n-1=3n．
∴log₃a_n=log33n=n．
∴R_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．
（3）∵Sn=

a1(3n-1)

3-1

=

1

2

a1•3n-

1

2

a1，
∴bn=1-Sn=1+

1

2

a1-

1

2

a1•3n．要使数列{b_n}为等比数列，当且仅当1+

1

2

a1=0，即a₁=-2．
∴存在a₁=-2使数列{b_n}为等比数列．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式，属于难题．