Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2）．
（1）求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）的值
（2）当k为何值时，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为6．

Answer 1

分析 （1）直接利用条件按照两个向量的数量积公式，求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）的值．
（2）由条件求得（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）、|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|、|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值，可得cosθ=$\frac{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$ 的值，从而得到k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•cosθ=6，由此求得k的值．

解答 解：（1）根据已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=（-2，0）•（7，-6）=-14．
（2）设k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由于k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k-3，2-2k），3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（0，-4），
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8k-8，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}$，|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=4，
∴cosθ=$\frac{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8-8k}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}•4}$=$\frac{2-2k}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}}$，
∴k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•cosθ=$\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}$•$\frac{2k-2}{\sqrt{{（k-3）}^{2}{+（2-2k）}^{2}}}$=2-2k=6，
∴k=-2，即当 k=-2时，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为6．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，两个向量的数量积的定义，属于中档题．