Question

19．如图，点P（0，-1）是椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于A、B两点，l₂交椭圆C₁于另一点D．
（ I） 求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ） 求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C₁的方程．
（2）设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．设直线l₁的方程为y=kx-1．求出点O到直线l₁的距离，然后利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理求出PD，表示出△ABD的面积为S，利用基本不等式求出最值，然后求解直线方程．．

解答 解：（1）由题意点P（0，-1）是椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径，得$\left\{{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=2}\end{array}}\right.$∴椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
由题意知直线l₁的斜率存在，不妨设其为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．故点O到直线l₁的距离为$d=\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，又圆C₂：x²+y²=4，
∴$|AB|=2\sqrt{4-{d^2}}=2\sqrt{\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}}$．
又l₁⊥l₂，∴直线l₂的方程为x+ky+k=0．由$\left\{{\begin{array}{l}{x+ky+k=0}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，消去y，
整理得（4+k²）x²+8kx=0，
故${x_0}=-\frac{8k}{{4+{k^2}}}$，代入l₂的方程得${y_0}=\frac{{4-{k^2}}}{{4+{k^2}}}$．∴$|PD|=\sqrt{{{（\frac{8k}{{4+{k^2}}}）}^2}+{{（\frac{{4-{k^2}}}{{4+{k^2}}}+1）}^2}}=\frac{{8\sqrt{{k^2}+1}}}{{4+{k^2}}}$．
设△ABD的面积为S，则$S=\frac{1}{2}|AB||PD|=\frac{{8\sqrt{{k^2}+1}}}{{4+{k^2}}}$$•\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}+1}}$，
∴$S=\frac{32}{{\sqrt{4{k^2}+3}+\frac{13}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}}}≤\frac{32}{{2\sqrt{\sqrt{4{k^2}+3}•\frac{13}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}}}}=\frac{{16\sqrt{13}}}{13}$．
当且仅当$\sqrt{4{k^2}+3}=\frac{13}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$，
即$k=±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$时上式取等号．
∴当$k=±\frac{{\sqrt{10}}}{2}$时，△ABD的面积取得最大值$\frac{{16\sqrt{13}}}{13}$，此时直线l₁的方程为$y=±\frac{{\sqrt{10}}}{2}x-1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．