题目内容
【题目】如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为
，求k的值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1
【解析】
试题（Ⅰ）取CD的中点为E，连结BE，则ADEB为平行四边形，所以AD
BE=4k，所以BC2=BE2+EC2，所以BE⊥DC，所以AD与BC垂直，AA1⊥面ABCD，所以AA1⊥CD，所以CD垂直面AA1D1D；（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DD1为
轴，建立空间直角坐标系，写出A、A1，B1，C的坐标，求出面AB1C的一个法向量，算出向量
坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k的方程，若能解出k值..
试题解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.
∵AB∥DE，AB
DE3k，∴四边形ABED为平行四边形， 2分
∴BE∥AD且BEAD4k.
在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，
∴∠BEC90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD. 4分
∵AA1⊥平面ABCD，CD
平面ABCD，
∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，
ADD1A1. 6分
（Ⅱ）以D为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
，
，
．
设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，
则由
得
取y2，得
. 9分
设AA1与平面AB1C所成角为θ，则
sin θ|cos〈，n〉|
，
解得k1，故所求k的值为1. 12分
【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试的次数
的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.
