Question

【题目】已知点是圆上任意一点，过点作轴于点，延长到点，使.

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）过点作圆O的切线l，交（1）中曲线E于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）设，根据，结合轴于点，得到，将的坐标代入即可.

（2）设直线为，根据直线与圆相切，得到，将代入，得，利用弦长公式结合韦达定理求得，再求得原点到直线的距离，然后由结合基本不等式求解.

（1）设，因为，

所以为的中点，

又因为轴于点，

所以，因为是圆上任意一点，

所以.

即点M的轨迹E的方程为.

（2）根据题意直线与y轴不垂直，设直线为，

因为直线与圆相切，

所以，即，

将代入，得，

，

，

，

，

，

原点到直线的距离为，

所以，当且仅当，即时，取等号.

所以面积的最大值为1