Question

已知函数f（x）是定义域R的奇函数，给出下列6个函数：
（1）g（x）=3•x

1

3

；            
（2）g（x）=x+1；         
（3）g(x)=sin(

5π

2

+x)；
（4）g(x)=ln(

x2+1

+x)；   
（5）g（x）=

sinx(1+sinx)

1-sinx

；
（6）g(x)=

2

ex+1

-1．
其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数序号是

（1）（4）（6）

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）是定义域R的奇函数，F（x）=f（x）•g（x）是偶函数可知函数g（x）是奇函数，然后根据奇函数的定义进行一一判定即可．

解答：解：∵函数f（x）是定义域R的奇函数，F（x）=f（x）•g（x）是偶函数
∴函数g（x）是定义域R的奇函数
（1）定义域为R，g（-x）=3(-x)

1

3

=-3•x

1

3

=-g（x），是奇函数
（2）定义域为R，g（-x）=-x+1≠-x-1=-g（x），不是奇函数
（3）定义域为R，g(x)=sin(

5π

2

+x)=cosx，g（-x）=cos（-x）=cosx=g（x），是偶函数
（4）定义域为R，g(-x)=ln(

x2+1

-x)=-ln(

x2+1

+x) =-g(x)，是奇函数
（5）g（x）=

sinx(1+sinx)

1-sinx

的定义域为{x|x≠

π

2

+2kπ(k∈Z)}不关于原点对称，故非奇非偶函数
（6）定义域为R，g(x)=

2

ex+1

-1=

1-ex

ex+1

，g(-x)=

1-e-x

e-x+1

=-g(x)，是奇函数．
故答案为：（1）（4）（6）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，一般步骤先判定定义域是否关于原点对称，然后判定f（-x）与f（x）的关系，属于中档题．