Question

已知如图，圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
设AM=l₁，AN=l₂，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：设∠MAN=θ，由题意知，l₁²+l₂²=．所以．由此可知当且仅当θ=45°时，原式有最大值，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，从而的取值范围．
解答：解：设∠MAN=θ，
因为，
所以，因为l₁²+l₂²-2l₁l₂cosθ=4p²，
所以l₁²+l₂²=．
所以．
因为0＜θ≤90，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，从而的取值范围为．
点评：本题考查圆锥曲线的位置关系和应用，解题时要认真审题和仔细解答．