Question

直线y=x+b与曲线x=

1-y2

有且有一个公共点，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=

1-y2

是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．

解答：解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；
曲线x=

1-y2

变形为x²+y²=1且x≥0
显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．
根据题意，直线y=x+b与曲线x=

1-y2

有且有一个公共点
做出它们的图形，则易得b的取值范围是{-

2

}∪(-1，1]．

点评：（1）要注意曲线x=

1-y2

是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．始终要注意曲线方程的纯粹性和完备性．
（2）它们有且有一个公共点，做出它们的图形，还要注意直线和曲线相切的特殊情况．