Question

直线y=x+b与曲线x+1=

1-y2

有两个交点，则b的取值范围是

(1-

2

，0]

．

Answer 1

分析：曲线即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），表示以C（-1，0）为圆心，半径等于1的半圆．由题意可得直线y=x+b与
半圆有2个交点，求出直线y=x+b过点A（-1，-1）时的b值，再求出直线和半圆相切时的b值，数形结合可得结论．

解答：解：曲线x+1=

1-y2

，即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），
表示以C（-1，0）为圆心，半径等于1的半圆（在直线x-1的右侧），
由题意可得，直线y=x+b与半圆有2个交点．如图所示：
当直线y=x+b过点A（-1，-1）时，把点A的坐标代入可得-1=-1+b，b=0．
当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心C（-1，0）到直线y=x+b的距离等于半径可得

|-1-0+b|

2

=1，
解得b=-1+

2

（舍去），或 b=-1-

2

．
故b的取值范围是(1-

2

，0]，
故答案为 (1-

2

，0]．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合
的数学思想，属于中档题．