题目内容
【题目】对于集合A={x|x=m2﹣n2 , m∈Z,n∈Z},因为16=52﹣32 , 所以16∈A,研究下列问题:
(1)1,2,3,4,5,6六个数中,哪些属于A,哪些不属于A,为什么?
(2)讨论集合B={2,4,6,8,…,2n,…}中有哪些元素属于A,试给出一个普通的结论,不必证明.
【答案】
(1)∵1=12﹣02;3=22﹣12;5=32﹣22;4=22﹣02;
∴1,3,4,5∈A,且2,6A;
设2∈A,得存在m,n∈Z,使2=m2﹣n2成立.(m﹣n)(m+n)=2
当m,n同奇或同偶时,m﹣n,m+n均为偶数
∴(m﹣n)(m+n)为4的倍数,与2不是4倍数矛盾.
当m,n同分别为奇,偶数时,m﹣n,m+n均为奇数
(m﹣n)(m+n)为奇数,与2是偶数矛盾.∴2A同理6A
(2)4=22﹣02;8=32﹣12;12=42﹣22;2,6,10,14,A,结论:是4的倍数的数属于A.
【解析】(1)根据集合A的元素的性质证明1,3,4,5∈A,对于2和6用反证法进行证明,证明过程注意根据整数是奇(偶)进行分类说明;(2)根据集合A的元素的性质,在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素,由这些数的特征进行归纳得出结论.
【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案,需要熟知对象与集合
的关系是
,或者
,两者必居其一.
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【题目】某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中不小于80分为“优秀”,小于60分为“不合格”,其它为“合格”.
(1)某校高二年级有男生500人,女生400人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数统计如表:
等级 | 优秀 | 合格 | 不合格 |
男生(人) | 30 | x | 8 |
女生(人) | 30 | 6 | y |
根据表中统计的数据填写下面2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”?
男生 | 女生 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 |
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)以(1)中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高二学生中随机抽取4人.
(i)求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率;
(ii)记X表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数,求X的数学期望.
附:参考数据与公式
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.