(2008•普陀区二模)已知点E.F的坐标分别是.直线EP.FP相交于点P.且它们的斜率之积为-14．(1)求证:点P的轨迹在椭圆C:x24+y2=1上,(2)设过原点O的直线AB交(1)题中的椭圆C于点A.B.定点M的坐标为(1.12).试求△MAB面积的最大值.并求此时直线AB的斜率kAB,题结论为特例作推广.得到如下猜想:设点M为椭圆C:x24+y2=1内一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（2008•普陀区二模）已知点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为-

1

4

．
（1）求证：点P的轨迹在椭圆C：

x2

4

+y2=1上；
（2）设过原点O的直线AB交（1）题中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为(1，

1

2

)，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）某同学由（2）题结论为特例作推广，得到如下猜想：
设点M（a，b）（ab≠0）为椭圆C：

x2

4

+y2=1内一点，过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．则当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值．
问：此猜想是否正确？若正确，试证明之；若不正确，请说明理由．

分析：（1）由已知中点E，F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP，FP相交于点P，且它们的斜率之积为-

1

4

．我们设出P（x，y），进而得到x，y之间的关系式，整理后即可得到点P的轨迹方程．
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁），联立直线和椭圆的方程，我们可得x2=

4

1+4k2

，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离求出AB边的高，可以得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的，代入可求出对应的k值．
（3）设M（1，4），根据（2）的计算办法，我们易求出，△MAB的面积取得最大值时，并求出此进k_OM及k_AB的值，验证后，可得猜想不成立．

解答：证明：（1）设P（x，y），由直线PE，PF的斜率均存在可知，x≠±2
由题意可得，KPE•KPF=

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

整理可得，

x2

4

+y2=1（x≠±2）
点P的轨迹为椭圆C：

x2

4

+y2=1上
（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x₁，kx₁），则B（-x₁，-kx₁）
联立方程y=kx与

x2

4

+y2=1
整理可得x2=

4

1+4k2

AB=2OA=2

(1+k2)x12

=4

1+k2

1+4k2

∵M（1，

1

2

）到直线AB的距离d=

|k-

1

2

|

1+k2

S△MAB=

1

2

AB•d=

1

2

×4

1+k2

1+4k2

×

|k-

1

2

|

1+k2

=m
则4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
则4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤

2

即三角形MAB的最大值为

2

代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=-

1

2

（3）设M（1，

1

4

），则M点在椭圆C：

x2

4

+y2=1内
由（2）中推导过程，可得
当k_0M=

1

4

，k_AB=-1时，△MAB的面积取得最大值
此时k_OM≠-k_AB，
故猜想：点M（a，b）（ab≠0）为椭圆C：

x2

4

+y2=1内一点，
过椭圆C中心的直线AB与椭圆分别交于A、B两点．
则当且仅当k_OM=-k_AB时，△MAB的面积取得最大值正确

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中（1）的关键是分别求出两条直线的斜率，进而得到P点横、纵坐标的关系式，（2）的关键是得到△MAB面积的表达式，（3）中正面证明比较麻烦，可以举出一反例，推反前面的猜想．

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