题目内容

正四面体ABCD的棱长为1,棱AB∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是    .

解析:如图,当四面体CABDAB进行旋转时,当CD垂直于平面α时,此时在α内的射影面积最小,等价于ECD上移动时,当ECD中点时,设FAB中点,EFAB.此时EF为异面直线ABCD的公垂线,是CD上点的到AB距离最短的点,EF=.∴=×1×=;当CDα时,四面体ABCD的射影为ACBD′为正方形,对角AB′=CD′=1,此时面积最大.?

∵1为高是最大的,∴SACBD=×1×1=.?

∴射影面积的取值范围为[].

答案:[, ].

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