题目内容
【题目】已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)当,求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
, 若
在
内恒成立,则称
为函数
的“类对称点”,当
时,试问
是否存在“类对称点”,若存在,请求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)函数的单调递增区间是
,单调递减区间为
;(Ⅱ)当
时,函数
存在“类对称点”.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,结合的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)法一:
时,求出
的导数,得到切线方程根据新定义问题等价于当
时,
,结合函数的单调性求出即可;法二:猜想
存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为
,然后加以证明即可.
试题解析:(Ⅰ)解 函数的定义域为
,因为
所以, 因
,
由,即
得
或
, 由
得
;
所以函数的单调递增区间是
,单调递减区间为
;
(Ⅱ)解法一:当时,
所以在点处的切线方程为
令
则
易知;
又=0
则
当时,
,令
,则
,所以函数
在
上单调递减,所以当
时,
,从而有
时,
;
当时,
,令
,则
,所以
在
上单调递减,所以当
时,
,从而有
时,
;
所以当时,函数
不存在“类对称点”。 ……11分
当时,
,所以
在
上是增函数,
当时,
,
当时,
,
故恒成立
所以当时,函数
存在“类对称点”.
(Ⅱ)解法二
当时,
所以在点处的切线方程为
若函数存在“类对称点”
则等价当时,
,当
时
恒成立
当时
恒成立,
等价于恒成立
即
令
而
要使在
恒成立,只要
在
单调递增即可
所以,即
当
时
恒成立,同理可得
,
所以
所以函数存在“类对称点”,其中一个“类对称点”横坐标为
.
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