题目内容

某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止．
（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡？”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为

25

28

”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用随机变量ξ表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求ξ的分布列和数学期望．

分析：（Ⅰ）根据若从盒中任抽2张卡片不都是世博会会徽卡的概率，写出2张卡片不都是世博会会徽的对立事件的概率，写出2张卡片不都是世博会会徽的对立事件的概率，根据对立事件的概率公式得到概率，列出方程，得到结果．
（II）ξ表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，得到变量的可能取值，结合变量对应的事件，写出分布列，利用期望公式得到变量的期望．

解答：解：（Ⅰ）设盒子中有“会徽卡”n张，
∵若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为

25

28

依题意有1-

C

2

n

C

2

8

=

25

28

，
解得n=3，
即盒中有“会徽卡”3张．
（Ⅱ）ξ表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，
∴ξ的所有可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=

C

2

5

C

2

8

=

5

14

；
P(ξ=2)=

C

2

3

C

2

8

•

C

2

5

C

2

6

+

C

1

3

•

C

1

5

C

2

8

•

C

2

4

C

2

6

=

2

7

；P(ξ=3)=

C

2

3

C

2

8

•

C

1

1

•

C

1

5

C

2

6

•

C

2

4

C

2

4

+

C

1

3

•

C

1

5

C

2

8

•

C

2

2

C

2

6

•

C

2

4

C

2

4

+

C

1

3

•

C

1

5

C

2

8

•

C

1

2

•

C

1

4

C

2

6

•

C

2

3

C

2

4

=

3

14

；P(ξ=4)=

C

1

3

•

C

1

5

C

2

8

•

C

1

2

•

C

1

4

C

2

6

•

C

1

1

•

C

1

3

C

2

4

•

C

2

2

C

2

2

=

1

7

，
∴随机变量ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望为Eξ=1×

5

14

+2×

2

7

+3×

3

14

+4×

1

7

=

15

7

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查对立事件的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，注意解题的格式．

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（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡？”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为

”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙两人参加游戏，双方约定甲先抽取乙后抽取，求甲获奖的概率．

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”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢？
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