Question

某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止．
（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡？”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用随机变量ξ表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）设盒子中有“会徽卡”n张，∵若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为25/28依题意有1-{C/^{2_{n}}}{{C}{²_{8}}}=25/28，解得n=3，即盒中有“会徽卡”3张．（Ⅱ）ξ表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，∴ξ的所有可能取值为1，2，3，4，P(ξ=1)={C/^{2_{5}}}{{C}{²_{8}}}=5/14；P(ξ=2)={C/^{2_{3}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{2_{5}}}{{C}{²_{6}}}+{C/^{1_{3}}•{C}{¹_{5}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{2_{4}}}{{C}{²_{6}}}=2/7；P(ξ=3)={C/^{2_{3}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{1_{1}}•{C}{¹_{5}}}{{C}{²_{6}}}•{C/^{2_{4}}}{{C}{²_{4}}}+{C/^{1_{3}}•{C}{¹_{5}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{2_{2}}}{{C}{²_{6}}}•{C/^{2_{4}}}{{C}{²_{4}}}+{C/^{1_{3}}•{C}{¹_{5}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{1_{2}}•{C}{¹_{4}}}{{C}{²_{6}}}•{C/^{2_{3}}}{{C}{²_{4}}}=3/14；P(ξ=4)={C/^{1_{3}}•{C}{¹_{5}}}{{C}{²_{8}}}•{C/^{1_{2}}•{C}{¹_{4}}}{{C}{²_{6}}}•{C/^{1_{1}}•{C}{¹_{3}}}{{C}{²_{4}}}•{C/^{2_{2}}}{{C}{²_{2}}}=1/7，∴随机变量ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为Eξ=1×5/14+2×2/7+3×3/14+4×1/7=15/7．