题目内容

(本题满分15分)

已知点是抛物线上相异两点,且满足

(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;

(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.

 

【答案】

(1)(2)

【解析】

试题分析:方法一:

解:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意,

所以可设直线的方程为,代入方程得:

                         ………………………………2分

得:              

∴直线的方程为                  

中点的横坐标为1,∴中点的坐标为    …………………………4分       

的中垂线方程为 

的中垂线经过点,故,得       ………………………6分

∴直线的方程为                       ………………………7分

(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为,∴点的坐标为 …………8分

因为直线的方程为

到直线的距离      …………………10分

            …………………………12分

,  设,则

,由,得

此时直线的方程为                         ……………15分

(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)

法二:

(1)根据题意设的中点为,则      ………………2分

两点得中垂线的斜率为,              ………………4分

,得                          ………………6分

∴直线的方程为                       ………………7分

(2)由(1)知直线的方程为                             ………………8分

中垂线方程为,中垂线交轴于点

到直线的距离为            ………………10分

得:

时,有最大值,此时直线方程为……………15分

考点:本试题考查了直线方程与抛物线方程的知识。

点评:解决该试题的关键是利用两直线的垂直,结合斜率之积为-1,得到斜率,同时结合点点斜式方程来得到直线的方程。而对于直线与抛物线的位置关系的处理,结合方程组,设而不求的思想来结合韦达定理和判别式得到结论,属于中档题。

 

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