题目内容
(本题满分15分)
已知点,
是抛物线
上相异两点,且满足
.
(Ⅰ)若的中垂线经过点
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若的中垂线交
轴于点
,求
的面积的最大值及此时直线
的方程.
(1)(2)
【解析】
试题分析:方法一:
解:(I)当垂直于
轴时,显然不符合题意,
所以可设直线的方程为
,代入方程
得:
∴
………………………………2分
得:
∴直线的方程为
∵中点的横坐标为1,∴
中点的坐标为
…………………………4分
∴的中垂线方程为
∵的中垂线经过点
,故
,得
………………………6分
∴直线的方程为
………………………7分
(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为
,∴
点的坐标为
…………8分
因为直线的方程为
∴到直线
的距离
…………………10分
由得
,
…………………………12分
∴, 设
,则
,
,
,由
,得
即时
此时直线的方程为
……………15分
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分)
法二:
(1)根据题意设的中点为
,则
………………2分
由、
两点得
中垂线的斜率为
,
………………4分
由,得
………………6分
∴直线的方程为
………………7分
(2)由(1)知直线的方程为
………………8分
中垂线方程为
,中垂线交
轴于点
点到直线
的距离为
………………10分
由得:
当时,
有最大值
,此时直线
方程为
……………15分
考点:本试题考查了直线方程与抛物线方程的知识。
点评:解决该试题的关键是利用两直线的垂直,结合斜率之积为-1,得到斜率,同时结合点点斜式方程来得到直线的方程。而对于直线与抛物线的位置关系的处理,结合方程组,设而不求的思想来结合韦达定理和判别式得到结论,属于中档题。
