题目内容

设函数g(x)= (a，b∈R)，在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x)．

   （1）若方程f(x)=0有两个实根分别为一2和4，求f(x)的表达式；

   （2）若g(x)在区间[一1，3]上是单调递减函数，求a2+b2的最小值．

（1）f(x)= x2-2x-8（2）13


解析:

（1）根据导数的几何意义知f(x)=g′(x)=x2+ax-b

    由已知一2、4是方程x2+ax-b =0的两个实根-

由韦达定理，,∴，f(x)= x2-2x-8

   （2）g(x)在区间【-1.3】上是单调递减函数，所以在【-1，3】区间上恒有

f(x)=g’(x)=x2+ax-b≤0，即f(x)=g’(x)=x2+ax-b≤0在【-1，3】恒成立，

    这只需要满足即可，也即

而a2+b2可以视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（-2，3）距离原点最近，所以当时，a2+b2有最小值13

练习册系列答案
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若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若x1=-
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，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
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，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
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为函数f（x）的一个极值点，设函数g(x)=f′(x)-ax-
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a，当x∈[-
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，a]时求|g（x）|的最大值．
已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
2x-k
x2+1
的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+
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 (-
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≤x≤
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， 0＜m＜
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)，若对任意的x1∈[-
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，
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]，总存在x2∈[-
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，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．
己知函数f(x)=
1
2
(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[
1
e
-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围；
（3）若设函数g(x)=
1
2
x2+
1
2
x+a，若g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点，求a的取值范围．
已知函数f（x）=ax3-3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）设函数G(x)=
f(x)，x≤0
g(x)，x＞0
，若方程G（x）=a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
函数f(x)=
2x
x2+1
的定义域为[-
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，
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]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数g(x)=x3-3ax+
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(-
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≤x≤
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，且a≥
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)．若对于任意x1∈[-
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，
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]，总存在x2∈[-
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2
，
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2
]，使得g（x2）=f（x1）成立，求a的取值范围．

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