Question

己知函数f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围；
（3）若设函数g(x)=

1

2

x2+

1

2

x+a，若g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数大于0（小于0），从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）得f（x）在 x∈[

1

e

-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x）_max，得到m的范围；
（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x），构造函数，确定函数的值域，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）函数定义域为（-1，+∞），∵f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)∴f′（x）=

x(2+x)

1+x

，
由f'（x）＞0及x＞-1，得x＞0，由f'（x）＜0及x＞-1，得-1＜x＜0．
则递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）；
（2）由f′（x）=

x(2+x)

1+x

=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增
又f（

1

e

-1）=

1

2e2

+1，f（e-1）=

1

2

e2-1，

1

2

e2-1＞

1

2e2

+1
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=

1

2

e2-1，
∴m＞

1

2

e2-1时，不等式f（x）＜m恒成立；
（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x）
令h（x）=（1+x）-2ln（1+x），则h′（x）=

x-1

x+1

∴h（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
∵h（0）=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=3-2ln3，且h（1）＞h（2）＞h（1）
∴当2a∈（2-2ln2，3-2ln3），即a∈（1-ln2，

3

2

-ln3）时，g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值．解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．