Question

已知函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）设函数G(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，若方程G（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数g′(x)=2bx+

c

x

，由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0，可建立方程，从而可求g（x）的解析式；
（2）确定函数的定义域，再求导函数，利用导数大于0，得到函数的单调增区间，利用导数小于0，得到函数的单调减区间；
（3）分类讨论，当x＞0时，G(x)=g(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为g(1)=

1

2

．当x≤0时，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=-1，再对a进行讨论，结合函数的图象，就可求出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）先求导函数g′(x)=2bx+

c

x

，
由条件，g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y-1=0．
∴

g′(1)=0 g(1)= 1 2

，即

2b+c=0 b= 1 2

，
∴b=

1

2

，c=-1，
∴g(x)=

1

2

x2-lnx．
（2）由F(x)=ax3-3ax+

1

2

x2-lnx，其定义域为（0，+∞），F′(x)=3ax2-3a+x-

1

x

=

(x+1)(x-1)(3ax+1)

x

，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，则x＞1，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等价于（x-1）（-3ax-1）＜0，
当a=-

1

3

，则（x-1）²＜0，无解，即F（x）无单调增区间，
当a＜-

1

3

，则-

1

3a

＜x＜1，即F（x）的单调递增区间为(-

1

3a

，1)，
当-

1

3

＜a＜0，则1＜x＜-

1

3a

，即F（x）的单调递增区间为(1，-

1

3a

)．
（3）G(x)=

ax3-3ax，x≤0 1 2 x2-lnx，x＞0

当x＞0时，G(x)=g(x)=

1

2

x2-lnx，g′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，得x=1，且当x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值，即最小值为g(1)=

1

2

．          
当x≤0时，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a²不可能有四个解；-----------------------------（12分）
②若a＜0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，当x∈（-1，0），f′（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，0]上有极小值，即最小值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的图象如图1所示，
从图象可以看出方程G（x）=a²不可能有四个解．----------（14分）
③若a＞0时，当x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，当x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有极大值，即最大值为f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的图象如图2所示，
从图象可以看出方程G（x）=a²若有四个解，
必须

1

2

＜a2＜2a，
∴

2

2

＜a＜2．
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是(

2

2

，2)．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，同时考查分类讨论、数形结合的数学思想，综合性强．