题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆经过,且右焦点坐标为.

1)求椭圆的标准方程;

2)设AB为椭圆的左,右顶点,C为椭圆的上顶点,P为椭圆上任意一点(异于AB两点),直线AC与直线BP相交于点M,直线BC与直线AP相交于点N,求证:.

【答案】1 2)证明见解析

【解析】

1)由椭圆的定义,可得,又,结合,即得解

(2)设,分别表示直线的方程,联立得到点的坐标,继而证明,即直线斜率不存在,,即,可得为等腰三角形,即得证

1)由题意,椭圆的两个焦点坐标为,记

故椭圆的方程为:

2)设

故:

联立计算可得:

由于

由于在椭圆上,故,即

,即直线斜率不存在

令线段中点为

为等腰三角形

即得证

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