题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，点
为棱
的中点.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若点
为棱上一点，且
，求二面角
的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得
．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据
可证得
．（Ⅱ）根据点
在棱
上可设
，再由
，得
，由此可得
，从而可得
．然后可求得平面
的法向量为
，又平面
的一个法向量
，可得
，然后结合图形可得所求．
详解：（Ⅰ）证明：
底面
，
平面，
面，
∴
，
，
又
，
∴．两两垂直．
以
为原点，为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
.
则由题意得
，
∴
，
∴，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
,
．
由点在棱上，
设
，
，
，
,
解得，
∴．
设平面的法向量为
，则
由
，得
，
令
，得．
由题意取平面的一个法向量．
∴
，
由图形知二面角
是锐角，
所以二面角的余弦值为．
练习册系列答案
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年龄段 |
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人数（单位：人） | 180 | 180 | 160 | 80 |
约定：此单位45岁
59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.
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热衷关心民生大事 | 不热衷关心民生大事 | 总计 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
总计 | 30 |
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