题目内容

已知函数(其中).
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在区间内有两个零点,求正实数a的取值范围;(Ⅲ)求证:当时,.(说明:e是自然对数的底数,e=2.71828…)

(Ⅰ)极小值为,无极大值(Ⅱ)(Ⅲ)问题等价于.由(Ⅰ)知的最小值为.设上单调递增,在上单调递减.∴
=,∴,∴,故当时,

解析试题分析:(Ⅰ)
),
,得,由,得
故函数上单调递减,在上单调递增,
所以函数的极小值为,无极大值.  4分
(Ⅱ)函数

,∵,解得,或(舍去),
时,上单调递减;
时,上单调递增.
函数在区间内有两个零点,
只需
故实数a的取值范围是.   9分
(Ⅲ)问题等价于.由(Ⅰ)知的最小值为
上单调递增,在上单调递减.

=
,∴,故当时,.  14分
考点:函数极值最值
点评:求函数极值最值都需要首先找到函数的单调区间,第二问将函数存在零点转化为最值边界值的范围,第三问将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,这两种转化是函数综合题中经常考到的

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