Question

（2013•奉贤区二模）在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，G分别为棱DD₁和CC₁的中点．
（1）求异面直线AE与DG所成的角；
（1）求三棱锥B-CC₁E的体积．

Answer 1

分析：（1）先通过作平行线的方法作出异面直线所成的角，再在三角形中求解即可；
（2）先判断三棱锥的高与底面，再根据体积公式计算即可．

解答：解：（1）连接BG、EG、BD，∵E、G分别是中点，∴EG∥AB且EG=AB，
∴四边形ABGE为平行四边形，∴AE∥BG，
∠DGB是所求的异面直线所成的角                     
正方体的棱长为1，DG=

5

2

，BG=

5

2

，DB=

2

，
∴cos∠DGB=

1

5

∴所求的异面直线的角大小arccos

1

5

．
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∴BC⊥面EGC
∴BC是三棱锥B-C₁CE的高，
∴VB1-C1CE=

1

3

•SC1CE•BC=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

点评：本题考查异面直线所成的角及棱锥的体积．