题目内容
设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若
=3
且
•
=4．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求
•
的取值范围．
| BP |
| PA |
| OQ |
| AB |
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求
| FA |
| FB |
分析：（1）由点P（x，y），点Q与点P关于y轴对称题设知Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），由
=3
且
•
=4，知
，由此能求出点P的轨迹M的方程．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立
，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由
•
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2），利用韦达定理能求出
•
的取值范围．
| BP |
| PA |
| OQ |
| AB |
|
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立
|
| FA |
| FB |
| FA |
| FB |
解答：解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴
=（x，y-b），
=（a-x，-y），
=（-x，y），
=(-a，b)，
∵
=3
且
•
=4，
∴
，
解得点P的轨迹M的方程为
+y2=1．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立
，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
=（x1-2，y1），
=（x2-2，y2），
∴
•
=（x1-2）（x2-2）+y1y2
=（1+k2）（x1-2）（x2-2）
=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]
=（1+k2）（
-
+4）
=
=
+
，
∴当k2→∞
•
的最小值→
；当k=0时，
•
的最大值为1．
∴
•
的取值范围是（
，1]．
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴
| BP |
| PA |
| OQ |
| AB |
∵
| BP |
| PA |
| OQ |
| AB |
∴
|
解得点P的轨迹M的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 12k2 |
| 3k2+1 |
| 12k2-3 |
| 3k2+1 |
| FA |
| FB |
∴
| FA |
| FB |
=（1+k2）（x1-2）（x2-2）
=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]
=（1+k2）（
| 12k2-3 |
| 3k2+1 |
| 24k2 |
| 3k2+1 |
=
| k2+1 |
| 3k2+1 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 9k2+3 |
∴当k2→∞
| FA |
| FB |
| 1 |
| 3 |
| FA |
| FB |
∴
| FA |
| FB |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量乘积人取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量知识的合理运用．
练习册系列答案
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设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若
=2
且
•
=1，则点P的轨迹方程是（ ）
| BP |
| PA |
| OQ |
| AB |
A、3x2+
| ||
B、3x2-
| ||
C、
| ||
D、
|
设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若| BP |
| PA |
| 1 |
| 2 |
| OQ |
| 1 |
| 2 |
| AB |
A、x2+
| ||
B、x2-
| ||
C、
| ||
D、
|