Question

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若

BP

=3

PA

且(

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1，则点P的轨迹方程是（　　）

• A、x2+

  y2

  3

  =1(x＞0，y＞0)
• B、x2-

  y2

  3

  =1(x＞0，y＞0)
• C、

  x2

  3

  -y2=1(x＞0，y＞0)
• D、

  x2

  3

  +y2=1(x＞0，y＞0)

Answer 1

分析：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，表示出

BP

和

PA

，根据

BP

=3

PA

，可求得a和b的表达式，进而根据由 (

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1求得P的轨迹方程．

解答：解：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，
∴

BP

=(x，y-b)，

PA

=(a-x，-y)，
由

BP

=3

PA

可得a=

3

4

x，b=

1

4

y，
∴x＞0，y＞0
又∵

AB

=（-a，b）=（-

3

4

x，

1

4

y），
由 (

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1
∴

x2

3

+y2=1(x＞0，y＞0)
故选D．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征、圆锥曲线的轨迹问题．解答关键是利用向量的基本运算得出x，y之间的关系式．