题目内容
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当
时，车流速度
是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；
（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
【解析】
试题分析：(1)分析可知当
时，车流速度为常数所以此时
。当
时
为一次函数，则可设其方程为
。再根据已知
和
列出方程组求
.（2）现根据
的解析式求出
的解析式，所以
也是分段函数，需分情况讨论当时
，此时在
上是增函数，所以
时最大，当时
利用基本不等式（或配方法）求最值。最后比较这两个最大值的大小取其中最大的一个
试题解析：（1）由题意：当
；当
再由已知得
故函数
的表达式为
（2）依题意并由（1）可得
当
为增函数，故当
时，其最大值为60×20=1200；
当
时，
当且仅当
，即
时，等号成立。
所以，当
在区间[20，200]上取得最大值
.
综上，当
时，
在区间[0，200]上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
考点：（1）函数解析式的求法（2）最值问题
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