题目内容
【题目】(本小题共l4分)
已知函数f(x)=x +, h(x)=.
(I)设函数F(x)=f(x)一h(x),求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程log4[]=1og2h(a-x)一log2h (4-x);
(Ⅲ)试比较与的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先求导函数,利用导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.即可求的单调区间与极值;
(Ⅱ)先把原等式转化为关于和之间的等量关系,最后利用图象来求的值(注意对的讨论).
(Ⅲ)把转化为一新数列的前100项和,再比较新数列的每一项和对应之间的大小关系,即可比较与的大小.
解:(Ⅰ)由知,
,令,得.
当时,;
当,时,.
故时,是减函数;
故,时,是增函数.
在处有极小值且.
(Ⅱ)原方程可化为,
即,
①当时,原方程有一解;
②当时,原方程有两解;
③当时,原方程有一解;
④当或时,原方程无解.
(Ⅲ)设数列的前项和为,且
从而有.
当时,
,
.
即对任意的,都有.
又因为,
所以(1)(2).
故.
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