Question

设平面区域D是由双曲线x2-

y2

4

=1的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部．当（x，y）∈D时，x²+y²+2x的最大值为（　　）

• A、24
• B、25
• C、4
• D、7

Answer 1

分析：由题意平面区域D是由双曲线x2-

y2

4

=1的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部，所以先由题意找到平面区域D，对于x²+y²+2x=z?（x+1）²+y²=z+1此式可以看成圆心为顶点（-1，0），圆的半径随z的变化而变化同心圆系，画出图形求解即可．

解答：解：有平面区域D是由双曲线x2-

y2

4

=1的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部，所以得到区域为：

由于目标函数为：x²+y²+2x=z?（x+1）²+y²=z+1此式可以看成圆心为顶点（-1，0），圆的半径随z的变化而变化同心圆系，画图可知：当此圆系过点（2，4）时，使得圆的半径的平方最大，即z_max=（2+1）²+4²-1=24．
故选A

点评：此题考查了双曲线的渐进性方程，线性规划求最值时目标函数的几何含义及学生用图的能力．