Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=

0

，且

a

与

b

的夹角为135°，

b

与

c

的夹角为120°，|

c

|=2，则|

b

|=

1+

3

．

Answer 1

分析：设△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，

CA

=

c

，则由题意可得B=45°，C=60°，A=75°，且AC=2，|

b

|=BC．利用两角和的正弦公式求得sinA=sin75°
 的值，在△ABC中，由正弦定理求得BC 的值．

解答：解：设△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，

CA

=

c

，显然满足足

a

+

b

+

c

=

0

．
则由且

a

与

b

的夹角为135°，

b

与

c

的夹角为120°，|

c

|=2，可得B=45°，C=60°，∴A=75°，且AC=2，|

b

|=BC．
sinA=sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6 + 2

4

．
△ABC中，由正弦定理可得

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

BC

sin75°

=

2

sin45°

，解得BC=1+

3

，
故答案为 1+

3

．

点评：本题主要考查两个向量的夹角的定义，正弦定理、两角和的正弦公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．