题目内容

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2AB=2,若E,F分别为线段A1D1,CC1的中点,则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为(  )
A.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{1}{3}$

分析 取BB1中点为N,连接FN,取FN中点为M,连接A1M,A1F,易得∠MA1N为直线EF与平面ABB1A1所成角,解△MA1N即可求出直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值,进而可求正弦值.

解答 解:取BB1中点为N,连接FN,取FN中点为M,连接A1M,A1F 易得EF∥A1M,EF=A1M
∵A1F是EF在面A1ABB1上的投影.
∴∠MA1N为所求的角.令AB=1,
在△MA1N中,A1N=$\sqrt{2}$,A1M=$\sqrt{3}$,
则cos∠MA1N=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,所以sin∠MA1N=$\sqrt{1-\frac{6}{9}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故选C.

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中构造出线面夹角的平面角是解答本题的关键.

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