题目内容

【题目】已知函数f(x)=loga +x)(其中a>1).
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)判断 (其中m,n∈R,且m+n≠0)的正负,并说明理由.

【答案】
(1)解:函数y=f(x)是奇函数,理由如下:

因为 ,所以函数y=f(x)的定义域为R.

又因为

所以函数y=f(x)是奇函数


(2)解: ,理由如下:

任取0≤x1<x2,设

,故0<u1<u2,从而

因为a>1,所以

在[0,+∞)上单调递增.

又因为 为奇函数,

所以f(﹣n)=﹣f(n),且 在(﹣∞,+∞)上单调递增.

所以m+n=m﹣(﹣n)与f(m)+f(n)=f(m)﹣f(﹣n)同号,即


【解析】(1)函数y=f(x)是奇函数,理由如下:结合对数的运算性质和函数奇偶性的定义,可证明;(2) ,结合函数的单调性和奇偶性,可进行判断.
【考点精析】利用函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

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