题目内容
△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+
cos（A+B）=0．
（1）a=4，c=
，求△ABC的面积；
（2）若A=
，cosB＞cosC，求
•
-2
•
-3
•
的值．
| 3 |
（1）a=4，c=
| 13 |
（2）若A=
| π |
| 3 |
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
分析：（1）由内角和定理得A+B=π-C，代入所给的式子由诱导公式和倍角的正弦公式化简，由边的关系进行取舍求出角C，再由余弦定理求出b，分情况代入面积公式求值即可；
（2）根据条件判断C和B大小关系，由（1）求出C，再由条件和内角和定理求出B，由角的关系推出边的关系，由数量积运算公式代入
•
-2
•
-3
•
，进行求值．
（2）根据条件判断C和B大小关系，由（1）求出C，再由条件和内角和定理求出B，由角的关系推出边的关系，由数量积运算公式代入
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
解答：（1）解：由A+B+C=π得，A+B=π-C，代入sin2C+
cos（A+B）=0得，
2sinCcosC-
cosC=0，∴cosC=0或sinC=
，
由a=4，c=
得，c＜a，∴sinC=
，且C=
，
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosc，
得b2-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=3时，S=
ab•sinC=
×4×3×
=3
，
当b=1时，S=
ab•sinC=
，
（2）由cosB＞cosC，得C＞B，
∵A=
，∴由（1）得，cosC=0，则C=
，B=
，
在RT△ABC中，由tanB=
=
，得a=
b，
∴
•
-2
•
-3
•
=
•
-3
•
=ac•cos
-3bc•cos
=-
ac+
bc=0．
| 3 |
2sinCcosC-
| 3 |
| ||
| 2 |
由a=4，c=
| 13 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosc，
得b2-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=3时，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
当b=1时，S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）由cosB＞cosC，得C＞B，
∵A=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
在RT△ABC中，由tanB=
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| 3 |
∴
| AB |
| BC |
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
| AB |
| BC |
| CA |
| AB |
=ac•cos
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
=-
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，以及数量积的运算等综合应用，注意两个向量的夹角和内角范围与三角函数值的关系，这是易错地方．
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