题目内容
△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin2C+
cos(A+B)=0.
(1)a=4,c=
,求△ABC的面积;
(2)若A=
,cosB>cosC,求
•
-2
•
-3
•
的值.
3 |
(1)a=4,c=
13 |
(2)若A=
π |
3 |
AB |
BC |
BC |
CA |
CA |
AB |
分析:(1)由内角和定理得A+B=π-C,代入所给的式子由诱导公式和倍角的正弦公式化简,由边的关系进行取舍求出角C,再由余弦定理求出b,分情况代入面积公式求值即可;
(2)根据条件判断C和B大小关系,由(1)求出C,再由条件和内角和定理求出B,由角的关系推出边的关系,由数量积运算公式代入
•
-2
•
-3
•
,进行求值.
(2)根据条件判断C和B大小关系,由(1)求出C,再由条件和内角和定理求出B,由角的关系推出边的关系,由数量积运算公式代入
AB |
BC |
BC |
CA |
CA |
AB |
解答:(1)解:由A+B+C=π得,A+B=π-C,代入sin2C+
cos(A+B)=0得,
2sinCcosC-
cosC=0,∴cosC=0或sinC=
,
由a=4,c=
得,c<a,∴sinC=
,且C=
,
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosc,
得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3,
当b=3时,S=
ab•sinC=
×4×3×
=3
,
当b=1时,S=
ab•sinC=
,
(2)由cosB>cosC,得C>B,
∵A=
,∴由(1)得,cosC=0,则C=
,B=
,
在RT△ABC中,由tanB=
=
,得a=
b,
∴
•
-2
•
-3
•
=
•
-3
•
=ac•cos
-3bc•cos
=-
ac+
bc=0.
3 |
2sinCcosC-
3 |
| ||
2 |
由a=4,c=
13 |
| ||
2 |
π |
3 |
由余弦定理c2=a2+b2-2ab•cosc,
得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3,
当b=3时,S=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
当b=1时,S=
1 |
2 |
3 |
(2)由cosB>cosC,得C>B,
∵A=
π |
3 |
π |
2 |
π |
6 |
在RT△ABC中,由tanB=
b |
a |
| ||
3 |
3 |
∴
AB |
BC |
BC |
CA |
CA |
AB |
AB |
BC |
CA |
AB |
=ac•cos
5π |
6 |
2π |
3 |
=-
| ||
2 |
3 |
2 |
点评:本题考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用,以及数量积的运算等综合应用,注意两个向量的夹角和内角范围与三角函数值的关系,这是易错地方.

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