Question

在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边．向量

m

=（2，0），

n

=（sinB，1-cosB）
（Ⅰ）若B=

π

3

．求

m

•

n

（Ⅱ）若

m

与

n

所成角为

π

3

．求角B的大小．

Answer 1

分析：（I）若B=

π

3

，则

n

=（

3

2

，

1

2

）．再利用向量数量积的公式，即可算出

m

•

n

的值．
（II）由平面向量的夹角公式，结合题意建立关于sinB、cosB的等式，平方整理为关于cosB的一元二次方程，解之得cosB=-

1

2

，再结合B为三角形的内角，可得角B的大小．

解答：解：（I）∵B=

π

3

，∴

n

=（sin

π

3

，1-cos

π

3

）=（

3

2

，

1

2

）
∵

m

=（2，0），
∴

m

•

n

=2×

3

2

+0×

1

2

=

3

；
（II）由题意，可得
∵

m

与

n

所成角为

π

3

，
∴cos

π

3

=

m • n

| m |•| n |

=

2sinB

2 sin2B+(1-cosB)2

=

1

2

，
即

2sinB

2-2cosB

=

1

2

，平方整理得2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解之得cosB=-

1

2

或cosB=1（舍去），
∵0＜B＜π，∴B=

2π

3

．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知向量的夹角情况下求角B的大小．着重考查了平面向量的数量积公式、向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．