题目内容

(本题满分15分)已知定义在上的函数,其中为常数。

 (1)若是函数的一个极值点,求的值; (2)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围; (3)若,在处取得最大值,求实数的取值范围。

(Ⅰ)    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

(1),(1分)

因为的一个极值点,所以,所以;(3分)

(2)①当时,在区间上是增函数,所以符合题意,(5分)

 ② 当时,,令得:

时,对任意,所以符合题意;

时,时,,所以

所以符合题意。  (8分)

综上所述得的取值范围为:                                (9分)

(3)。                    

  ,               (11分)

,即,(*)显然

设方程(*)的两个根分别为,由(*)式得

不妨设

时,为极小值,

所以上的最大值只能是

时,由于上是递减函数,所以最大值为

所以上的最大值只能是;                  (14分)

由已知得处取得最大值,所以

,解得

又因为,所以的取值范围为。                      (15分)

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