题目内容
(本题满分15分)已知定义在上的函数,其中为常数。
(1)若是函数
的一个极值点,求的值; (2)若函数
在区间
上是增函数,求实数的取值范围; (3)若
,在
处取得最大值,求实数的取值范围。
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
解析:
(1),(1分)
因为是
的一个极值点,所以
,所以
;(3分)
(2)①当时,
在区间
上是增函数,所以
符合题意,(5分)
② 当时,
,令
得:
。
当时,对任意
,所以
符合题意;
当时,
时,
,所以
,
所以符合题意。 (8分)
综上所述得的取值范围为: (9分)
(3)。
, (11分)
令,即
,(*)显然
设方程(*)的两个根分别为,由(*)式得
,
不妨设。
当时,
为极小值,
所以在
上的最大值只能是
或
;
当时,由于
在
上是递减函数,所以最大值为
所以在
上的最大值只能是
或
; (14分)
由已知得在
处取得最大值,所以
;
即,解得
,
又因为,所以的取值范围为
。 (15分)

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