题目内容
(本题12分)
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2, 侧棱长是, D为AC的中点.
(1)求证: B1C∥平面A1BD
(2)求二面角A1-BD-A的大小.
(3)求直线AB1与平面A1BD所成角的大小.
(2) 60° (3) ∠AOH=arcsin
解析:
法1: 如图所示(1)设A1B与AB1交于O点, 在△AB1C中, OD为其中位线,
∴OD∥B1C, ODÌ平面A1BD, B1CÌ平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD
(2) ∵D是AC的中点, △ABC为正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴ A1A⊥BD, ∴BD⊥平面A1AD, ∴BD⊥A1D, BD⊥AD, ∴∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角, A1A=, AD=1, tan∠A1DA= = , ∴∠A1DA= 60°. ∴二面角A1-BD-A的平面角为60°.
(3)∵ BD⊥平面A1AD, BDÌ平面A1BD, ∴平面A1AD⊥平面A1BD, 过A作AH⊥A1D于H点,∴AH⊥平面A1BD, ∴∠AOH为直线AB1与平面A1BD所成角, 在Rt△A1AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.
法2: (空间向量法)建坐标系如图, 则
A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A1(1, 0, ) B1(0, , ) , C(-1,0,0)
(1) =(1, 0, ), =(0,, 0), =(1, , ) , ∴ =+ , ∴、、共面, 又∵CB1Ì平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD
(2) 平面ABD的法向量设为=(0,0,1), 平面A1BD的法向量为=(x,y,z),
∵ ,
∴ , y=0, 令z=1, 则x=-, ∴=(-,0,1) ,
=
∴ 二面角A1-BD-A的大小的60°.
(3) 直线AB1与平面A1BD所成角θ, 则=(-1, , ),平面A1BD的法向量为=(-,0,1) , sinθ= = = , ∴ θ=arcsin.