Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列，又b_n=,n=1,2,3….

(Ⅰ)证明{b_n}为等比数列；

(Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=,求数列{a_n}的首项a₁和公差d.

(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)

Answer 1

（Ⅰ）证明：

∵lga₁、lga₂、lga₄成等差数列，        ∴2lga₂=lga₁+lga₄，即a²=a₁?a₄.

等差数列{a_n}的公差为d，则(a₁+d)²=a₁(a₁+3d),

这样d²=a₁d.从而d(d－a₁)=0.        

(i)若d=0，则{a_n}为常数列，相应{b_n}也是常数列.

此时{b_n}是首项为正数，公式为1的等比数列.    

(ii)若d=a₁≠0，则

=a₁+(2ⁿ－1)d=2ⁿd，b_n=.

这时{b_n}是首项b₁=，公比为的等比数列.综上知，{b_n}为等比数列.          

（Ⅱ）解：

如果无穷等比数列{b_n}的公比q=1，则当n→∞时其前n项和的极限不存在.

因而d=a₁≠0，这时公比q=，b₁=.

这样，{b_n}的前n项和S_n=，

则S=S_n==.           

由S=得公差d=3，首项a₁=d=3.