Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列．又b_n=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=

1

3

，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）

Answer 1

分析：（1）设{a_n}中首项为a₁，公差为d．lga₁，lga₂，lga₄成等差数列，把a₁和d代入求得d，进而分别看当d=0，整理可得

bn+1

bn

=1，进而判断出{b_n}为等比数列；进而看d=a₁时，整理

bn+1

bn

=

1

2

，判断出{b_n}为等比数列．
（2）无穷等比数列{b_n}各项的和S=

1

3

．进而求得q和d，根据等比数列的前n项的和极限，进而得d．

解答：（1）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列∴2lga₂=lga₁+lga₄∴a₂²=a₁•a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
当d=0时，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}为等比数列．
综上可知{b_n}为等比数列．
（2）解：∵无穷等比数列{b_n}各项的和S=

1

3

．
∴|q|＜1，由（1）知，q=

1

2

，d=a₁．b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴S=

b1

1-q

=

1 a2

1-q

=

1 2a1

1- 1 2

=

1

a1

=

1

3

，∴a₁=3．
∴

a1=3 d=3

．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．数列与不等式，极限，函数等知识是常考的地方，属于中点．