Question

如图，已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点，建立如图坐标系，求P点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：根据如图坐标系，按题意写出A，B，C，D四点的坐标，进而根据 解出E，F，G三点的坐标 参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程．
解答：解：如图，按题意有A（-2，0），B（2，0），C（2，4a），D（-2，4a）．
设．
由此有E（2，4ak），F（2-4k，4a），G（-2，4a-4ak）．
直线OF的方程为：2ax+（2k-1）y=0，①
直线GE的方程为：-a（2k-1）x+y-2a=0②
从①，②消去参数k，
得点P（x，y）坐标满足方程2a²x²+y²-2ay=0，（矩形内部）．
点评：考查解析法求点的轨迹方程，本题在做题时引入了参数k，故得到的轨迹方程为参数方程，需要消去参数得到轨迹方程，又当字母的取值范围对曲线的形状有影响时，要对其范围进行讨论以确定轨迹的具体性状．