题目内容
(本题满分14分)已知函数(
且
).
(Ⅰ)当时,求证:函数
在
上单调递
增;
(Ⅱ)若函数有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,试求a的取值范围.
注:e为自然对数的底数。
解:(Ⅰ),
由于,故当x∈
时,lna>0,ax﹣1>0,所以
,
故函数在
上单调递增。 ………………………………………4分
(Ⅱ)当a>0,a≠1时,因为,且
在R上单调递增,
故有唯一解x=0。
要使函数 有三个零点,所以只需方程
有三个根,
即,只要,解得t=2; ………………………………9分
(Ⅲ)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得,
所以当x∈[﹣1,1]时,。
由(Ⅱ)知,,
。
事实上,。
记(
)
因为
所以 在
上单调递增,又
。
所以 当 x>1 时,;
当0<x<1 时,,
也就是当a>1时,;
当0<a<1时,。
① 当时,由
,得
,
解得 。
②当0<a<1时,由,得
,
解得 。
综上知,所求a的取值范围为。
解析

练习册系列答案
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已知与
是定义在
上的连续函数,如果
与
仅当
时的函数值为0,且
,那么下列情形不可能出现的是( )
A.0是![]() ![]() |
B.0是![]() ![]() |
C.0是![]() ![]() |
D.0是![]() ![]() |