题目内容
【题目】(本小题满分14分)
已知,
为椭圆
的左、右顶点,
为其右焦点,
是椭圆
上异于
,
的动点,且
面积的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)直线与椭圆在点
处的切线交于点
,当直线
绕点
转动时,试判断以
为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为
,
.
由题意知解得
,
.
故椭圆的方程为
,离心率为
.……6分
(Ⅱ)以为直径的圆与直线
相切.
证明如下:由题意可设直线的方程为
.
则点坐标为
,
中点
的坐标为
.
由得
.
设点的坐标为
,则
.
所以,
.……………………………10分
因为点坐标为
,
当时,点
的坐标为
,点
的坐标为
.
直线轴,此时以
为直径的圆
与直线
相切.
当时,则直线
的斜率
.
所以直线的方程为
.
点到直线
的距离
.
又因为,所以
.
故以为直径的圆与直线
相切.
综上得,当直线绕点
转动时,以
为直径的圆与直线
相切.………14分
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的特征可得当点在点
时,
面积最大,即可列
,由题目条件知
,结合
,进而求得椭圆
的方程及离心率;
(Ⅱ)设,由题意可设直线
的方程为
,可得点
与
中点
的坐标,联立直线与椭圆的方程得
,进而表示出点
的坐标,结合点
,再写出直线
的方程,根据点
到直线
的距离等于直径
的一半,进而解得此问.
试题解析:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为
,
.
由题意知解得
,
.
故椭圆的方程为
,离心率为
.
(Ⅱ)以为直径的圆与直线
相切.
证明如下:由题意可设直线的方程为
.
则点坐标为
,
中点
的坐标为
.
由得
.
设点的坐标为
,则
.
所以,
.
因为点坐标为
,
当时,点
的坐标为
,点
的坐标为
.
直线轴,此时以
为直径的圆
与直线
相切.
当时,则直线
的斜率
.
所以直线的方程为
.
点到直线
的距离
.
又因为,所以
.
故以为直径的圆与直线
相切.
综上得,当直线绕点
转动时,以
为直径的圆与直线
相切.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加数学与地理的学业水平测试,从中随机抽取100人的数学与地理的学业水平测试成绩如下表:
人数 | 数学 | |||
优秀 | 良好 | 及格 | ||
地理 | 优秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩例如:表示数学成绩为良好的共有20+18+4=42(人).
(Ⅰ)若在该样本中,数学成绩优秀率为30%,求a,b的值;
(Ⅱ)已知a≥10,b≥8,利用样本数据,求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率.
【题目】新高考最大的特点就是取消文理分科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文(选择政治、历史、地理)的选择是否与性别有关,从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生,女生各25人进行模拟选科.经统计,选择全文的人数比不选全文的人数少10人.
(1)估计在男生中,选择全文的概率.
(2)请完成下面的列联表;并估计有多大把握认为选择全文与性别有关,并说明理由;
选择全文 | 不选择全文 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合计 |
附:,其中
.
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |