题目内容
【题目】已知直线,若存在实数
使得一条曲线与直线
有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于
,则称此曲线为直线
的“绝对曲线”,下面给出四条曲线方程:
①,
②,
③,
④,
其中,直线的绝对曲线有______.(填序号)
【答案】②③④
【解析】
易知,直线恒过定点
,又
的图像是以
为端点的两条射线组成的折线,直线
与曲线①至多有一个交点,故曲线①不是直线
的绝对曲线,
由在抛物线
上,设直线
与曲线②的另一个交点为
,
,
则,若
,
则
,
设,则
,
,
由函数在
上的连续性,知方程
在区间
上有实数根
,
即存在使得
,故曲线②为直线
的绝对曲线,
因为直线被曲线③截得的弦
(即圆的直径)长恒为2,取
,
所以,.故曲线③也为直线
的绝对曲线,
易知,定点也在曲线④上,且当
时,直线
被曲线④截得的弦长
,
当由0逐渐变少到
时(此时,
由0逐渐变大到
),
由图像易知弦长先由2逐渐变少到0,再由0逐渐变大到2,
可知,存在实数,
,使得
,故曲线④也是直线
的绝对曲线.
综上,知直线的绝对曲线有②③④.
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